PUC-SP 2014 - Questões

Dois recipientes, $R_1$ e $R_2$ , contêm a mesma quantidade de misturas de álcool e água, nas respectivas proporções: $3 : 5$, em $R_1$ e $2 : 3$ em $R_2$ . Juntando-se em um terceiro recipiente os conteúdos de $R_1$ e $R_2$, a proporção de álcool e água nesta mistura será de:

Simplificando a expressão $\dfrac{3^{n + 3} - 3 \cdot 3^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n + 2}}$ obtém-se:

A figura abaixo apresenta uma faixa formada por três fileiras de pastilhas quadradas, todas de mesmas dimensões. Note que, na primeira e na terceira faixas, as cores se alternam em preto e branco, enquanto que a faixa intermediária é composta exclusivamente de ladrilhos brancos.

Considere que, para enfeitar a cozinha de sua casa, Laurita pretende reproduzir essa faixa horizontalmente, ao longo dos $2,475 \ m$ de comprimento de uma parede retangular. Sabendo que, para tal, deverão ser usadas $100$ pastilhas pretas, qual a área da região que deverá estar ocupada pelas pastilhas brancas? Considere desprezível a camada fina de argamassa usada entre as pastilhas.

Um artesão possui uma folha de papelão de formato retangular, cuja medida do comprimento é igual ao dobro da medida da largura, e pretende usá-la para construir uma caixa aberta, recortando em cada quina da folha um quadrado de $3 \ cm$ de lado. Sabendo que, ao ficar pronta, o volume da caixa será de $324 \ cm$ , então a área de sua superfície externa, em centímetros quadrados, será igual a:

O texto abaixo é uma adaptação de um extrato do livro "A Magia do Números", de Paul Karlson – Coleção Tapete Mágico, $XXXI$ – Editora Globo, $1961$.

Devemos aos hindus algumas importantes contribuições para a Matemática como, por exemplo, “a descoberta do zero” ou, de modo mais geral, a introdução da notação numérica ainda em voga nos dias de hoje. Aos enunciados dos problemas hindus não faltam nem originalidade nem eloquência poética, conforme mostra o problema seguinte:

"De todas as abelhas de certo enxame, $\dfrac{1}{5}$ pousaram sobre uma flor de candâmbia e $\dfrac{1}{3}$ sobre a flor

de uma silindra. O triplo da diferença entre o maior e o menor daqueles dois números dirigiu-se às flores de um cutaja, restando então uma única abelha, que pairou no ar, atraída, simultaneamente, pelo doce aroma de um jasmim e de um pandano. Dize-me encantadora mulher, qual o total de abelhas?”

A resposta a tão curioso problema nos permite concluir que o total de abelhas de tal enxame é um número