PUC-RJ 2019 - Questões

Quantos números pares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos de $1$ a $6$?

Considere um quadrado $ABCD$ de lado $1$. Traçamos um arco de círculo dentro do quadrado, de centro $A$ ligando $B$ e $D$. Traçamos outro arco de círculo dentro do quadrado de centro $C$, também ligando $B$ e $D$.

Quanto vale a área da região contida entre os dois arcos de círculo, conforme indicado na figura?

Amália, Dandara e Leila são irmãs e têm o costume de visitar a avó no mesmo horário, obedecendo à mesma rotina. Amália visita a avó a cada $8$ dias; Dandara, a cada $12$ dias; e Leila, a cada $16$ dias. As três irmãs visitam a avó juntas quarta-feira, dia $1^\circ$ de junho. Amália volta quinta-feira, dia $9$ de junho. Dandara volta segunda- feira, dia $13$ de junho. Na sexta-feira, dia $17$ de junho, Amália e Leila visitam a avó. Em que dia da semana ocorre a próxima visita das três irmãs juntas?

Considere o sistema:

$$\begin{cases}2x - y -3 =0\\ \\ x^2 +y + k = 0 \end{cases}$$

Qual é o conjunto de todos os valores reais de $k$ para os quais o sistema admite duas soluções reais distintas?

Sabemos que $x \in \left(0 , \frac{\pi}{2}\right)$ e que $\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ (2x) = \frac{4}{3}$. Quanto vale $\hspace{2pt}\mathrm{tg}\ (x)?$