PUC-RJ 2012 Matemática - Questões

Encontre que valores reais de $x$ satisfazem a cada desigualdade abaixo:

1. a) $\sqrt{x^{2} -4x+5} >\dfrac{1}{2}$
   

2. b) $\sqrt{x^{2} -4x+5} >1$
   

3. c) $\sqrt{x^{2} -4x+5} >2$
   

Seja $f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{-x+1}$.

1. a) Calcule $f\left(2\right)$.
   

2. b) Para quais valores reais de $x$ temos $f\left(f\left(x\right)\right)=x$?
   

3. c) Para quais valores reais de $x$ temos $f\left(f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)\right)=2011$?
   

João joga 3 dados comuns até sair um dos seguintes resultados:

• dois números iguais e um diferente, resultado que chamaremos de par ou

• três números iguais, resultado que chamaremos de trinca.

1. a) Qual a probabilidade de João obter uma trinca na primeira jogada?
   

2. b) Qual a probabilidade de que o jogo termine na primeira jogada, isto é, de que saia um par ou uma trinca no primeiro lançamento dos dados?
   

3. c) Qual a probabilidade de que o jogo acabe com João obtendo uma trinca (e não um par)?
   

Um baralho comum tem $26$ cartas vermelhas e $26$ cartas pretas.

1. a) Ana Lúcia retira uma carta do baralho completo, a examina e a devolve ao baralho. Depois de embaralhar novamente as cartas, ela volta a retirar uma carta. Qual é a probabilidade de que, nas duas retiradas, a cor da carta tenha sido a mesma?
   

2. b) Ana Lúcia retira, simultaneamente, duas cartas de um baralho completo. Qual é a probabilidade de que as duas cartas sejam da mesma cor?
   

Seja $f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}$, definida para $x$ real e não nulo.

1. a) Para que valores de $x$ temos $f\left(x\right)=\dfrac{5}{2}$?
   

2. b) Para que valores de $x$ temos $f\left(x\right)=\dfrac{3}{2}$?