PUC-RJ 2006 Matemática - Questões

Ache um valor de $m$ tal que as duas soluções da equação $x\left(x+1\right)=m \left(x+2\right)$ sejam iguais.

Seja $ABC$ um triângulo equilátero de área $30\ \text{cm}^2$. Seja $PQR$ um triângulo eqüilátero com $P$ no lado $BC$, $Q$ no lado $CA$ e $R$ no lado $AB$. Dado que o ângulo $C\hat{P}Q$ é igual a $90^\circ$, determine:

1. a) Os ângulos $A\hat{Q}R$ e $B\hat{R}P$.
   

2. b) A área do triângulo $PQR$.
   

Ache todas as soluções do sistema $$\begin{cases} x+y-z=1\\ -x+y+z=1 \end{cases}$$

Interprete sua resposta geometricamente.

Verifique se o sistema tem uma solução do tipo $x=a+1$, $y=2a$ e $z=a$.

Uma pedra é largada do alto de um prédio. Sua altura em relação ao solo $t$ segundos após ser largada é de $180-5t^2$ metros.

1. a) Qual a altura do prédio?
   

2. b) Quando a pedra atinge o solo?
   

Qual a probabilidade de um número escolhido entre $1$ e $100$ ser um quadrado perfeito?