OBMEP 2009 Matemática - Questões

Ana deve a Beto 1 real, Carlos deve a Ana 1 real, Dora deve a Beto 2 reais, Beto deve a Emília 3 reais, Carlos deve a Emília 2 reais, Emília deve a Dora 1 real, Carlos deve a Beto 2 reais, Dora deve a Carlos 1 real e Ana deve a Dora 3 reais. Cada um deles recebeu de seus pais 10 reais para pagar suas dívidas. Depois que forem efetuados todos os pagamentos, quem vai ficar com mais dinheiro?

Um torneio de futebol com 57 times será disputado com as seguintes regras:

- Nenhum jogo pode terminar empatado.

- O time que perder duas partidas será eliminado.

- O torneio termina quando sobrar apenas um time, que será o campeão.

Se o time campeão perder uma vez, quantas partidas serão disputadas no torneio?

Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal $\cdot$. Ela funciona assim: a $\cdot$ b = (a + 1) (b $-$ 1).

Por exemplo, 3 $\cdot$ 5 = (3 +1) $\times$ (5 $-$1) = 16 . Se a e b são inteiros positivos tais que a $\cdot$ b = 24 e b $\cdot$ a = 30, quanto vale a + b?

Qual é a soma dos algarismos do número que se obtém ao calcular 2$\ ^{100}$ $\times$ 5$\ ^{103}$?

Os seis triângulos da figura são retângulos e seus ângulos com vértice no ponto A são iguais. Além disso, AB = 24 cm e AC = 54 cm. Qual é o comprimento de AD?