OBMEP 2009 - Questões

Um torneio de futebol com 57 times será disputado com as seguintes regras:

- Nenhum jogo pode terminar empatado.

- O time que perder duas partidas será eliminado.

- O torneio termina quando sobrar apenas um time, que será o campeão.

Se o time campeão perder uma vez, quantas partidas serão disputadas no torneio?

Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa o sinal $\cdot$. Ela funciona assim: a $\cdot$ b = (a + 1) (b $-$ 1).

Por exemplo, 3 $\cdot$ 5 = (3 +1) $\times$ (5 $-$1) = 16 . Se a e b são inteiros positivos tais que a $\cdot$ b = 24 e b $\cdot$ a = 30, quanto vale a + b?

O semicírculo da figura tem centro O e diâmetro PQ = 2 cm. O raio OR é perpendicular a PQ. Por um ponto qualquer M de OR traça-se a corda AB perpendicular a OR. Sejam x o comprimento de RM, em cm, e y a área do quadrado de lado AB, em $cm^{2}$. Qual dos gráficos abaixo expressa a relação entre x e y?

Daniela fez uma tabela mostrando a quantidade de água que gastava em algumas de suas atividades domésticas.

Para economizar água, ela reduziu a lavagem de roupa a 3 vezes por semana, o banho diário a 5 minutos e a lavagem semanal do carro a apenas um balde de 10 litros. Quantos litros de água ela passou a economizar por semana?

A figura mostra um quadrado de lado 1 m dividido em dois retângulos e um quadrado. As áreas do quadrado Q e do retângulo R são iguais. Qual é a área do retângulo S?