ITA 2019 - Questões

Seja $\gamma$ a circunferência de equação $x^2 + y^2 = 4$. Se $r$ e $s$ são duas retas que se interceptam no ponto $P = (1, 3)$ e são tangentes a $\gamma$, então o cosseno do ângulo entre $r$ e $s$ é igual a

Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ que tornam impossível o sistema linear

$$S:\begin{cases}-x+5y=10\\\left(\frac{a^2}{5}+5b^2\right)x+10aby=1\end{cases}$$

Considere as seguintes afirmações:

• I. se $n$ é um número natural, então $\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2}+ \cdots +\frac{1}{2n}\geq\frac{1}{2}$.

• II. se $x$ é um número real e $x^3 + x + 1 = 0$, então $x^2 +\frac{1}{x}+\frac{1}{x^6}= 0$.

• III. se $a$, $b$ e $c$ são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então $\frac{1}{\sqrt b +\sqrt c}$, $\frac{1}{\sqrt c +\sqrt a}$, $\frac{1}{\sqrt a +\sqrt b}$ formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.

É(são) VERDADEIRA(S)

Seja $p(x) = x^3 + ax^2 + bx$ um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a $10$, podemos afirmar que a soma das raízes de $p(x)$ é igual a

Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes $A$ de ordem $n \times n$ inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:

• I. $| \text{det}(A)| = 1$.

• II. $A^T = A^{-1}$.

• III. $A + A^{-1}$ é uma matriz diagonal.

É(são) sempre VERDADEIRA(S)