ITA 2017 Matemática - Questões

Sejam $X$ e $Y$ dois conjuntos finitos com $X\subset Y$ e $X\ne Y$. Considere as seguintes afirmações:

• I. Existe uma bijeção $f:X\to Y$.

• II. Existe uma função injetora $g:Y\to X$.

• III. O número de funções injetoras $f:X\to Y$ é igual ao número de funções sobrejetoras $g:Y\to X$.

É (são) verdadeira(s)

O número de soluções da equação $(1+\sec\theta)(1+\csc\theta)=0$, com $\theta\in [-\pi,\pi]$, é

Sejam $a$, $b$, $c$, $d\in\mathbb{R}$. Suponha que $a$, $b$, $c$, $d$ formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que $a$, $b/2$, $c/4$, $d-140$ formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de $d-b$ é

O maior valor de $\tan x$, com $\displaystyle x=\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$ e $\displaystyle x\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, é

Considere a reta $r:y=2x$. Seja $A=(3,3)$ o vértice de um quadrado $\text{ABCD}$, cuja diagonal $\overline{BD}$ está contida em $r$. A área deste quadrado é