ITA 2017 - Questões

Com os elementos $1,2,\dots ,10$ são formadas todas as sequências $(a_1,a_2,\dots ,a_7)$. Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é

Seja $ABC$ um triângulo cujos lados $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ medem $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $10\text{ cm}$, respectivamente. Considere os pontos $M$ e $N$ sobre o lado $\overline{BC}$ tais que $\overline{AM}$ é a altura relativa a $\overline{BC}$ e $N$ é o ponto médio de $\overline{BC}$. A área do triângulo $AMN$, em $\text{cm}^2$, é

Sejam $a$, $b$, $c$, $d\in\mathbb{R}$. Suponha que $a$, $b$, $c$, $d$ formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que $a$, $b/2$, $c/4$, $d-140$ formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de $d-b$ é

O lugar geométrico dos pontos $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ tais que a equação, em $z\in\mathbb{C}$, $$z^2+z+2-(a+ib)=0$$possua uma raiz puramente imaginária é

Considere o triângulo $ABC$, em que os segmentos $\overline{AC}$, $\overline{CB}$ e $\overline{AB}$ medem, respectivamente, $10\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ e $20\text{ cm}$. Seja $D$ um ponto do segmento $\overline{AB}$ de tal modo que $\overline{CD}$ é bissetriz do ângulo $A\hat{C}B$ e seja $E$ um ponto do prolongamento de $\overline{CD}$, na direção de $D$, tal que $D\hat{B}E = D\hat{C}B$. A medida, em $\text{cm}$, de $\overline{CE}$ é