ITA 2010 - Questões

Sobre os elementos da matriz $$A=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4\\y_1&y_2&y_3&y_4\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{bmatrix}\in M_{4\times4}(\mathbb{R})$$sabe-se que $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ e $(y_1, y_2, y_3, y_4)$ são duas progressões geométricas de razão $3$ e $4$ e de soma $80$ e $255$, respectivamente. Então, $\det (A^{-1})$ e o elemento $(A^{-1})_{23}$ valem, respectivamente,

Se os números reais $\alpha$ e$\beta$, com $\alpha + \beta = \frac{4\pi}{3}$, $0\le\alpha\le\beta$ maximizam a soma $\sin\alpha + \sin\beta$, então $\alpha$ é igual a

Se $z$ é uma solução da equação em $\mathbb{C}$, $$z-\overline{z}+|z|^2 = -\left[ (\sqrt2 + i) \left(\frac{\sqrt2 - 1}{3}-i\frac{\sqrt2+1}{3} \right) \right]^{12}$$pode-se afirmar que

Um cilindro reto de altura $\frac{\sqrt6}{3}\text{ cm}$ está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem $3\text{ cm}$, o volume do cilindro, em $\text{cm}^3$, é igual a

Sejam $A$, $B$, $C$ e $D$ os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem $1\text{ cm}$. Se $M$ é o ponto médio do segmento $\overline{AB}$ e $N$ é o ponto médio do segmento $\overline{CD}$, então a área do triângulo $MND$, em $\text{cm}^2$, é igual a