ITA 1995 Matemática - Questões

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Seja $A =\left\{\dfrac{(-1)^n}{n!} + \sin \dfrac{n!\pi}{6}; n \in \mathbb{N}\right\}$ Qual conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A dá o próprio A?


Seja a função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por: $$f(x) = \begin{cases} a(x + \pi/2) & \text{ se }, x < \pi/2\\ (\pi/2) - (a/x)\sin x & \text{ se }, x \geq \pi/2 \end{cases}$$onde $a > 0$ é uma constante. Considere $K = \{ y \in \mathbb{R}\ ;\ f(y) =0\}$. Qual o valor de $a$, sabendo-se que $f(\pi/2) \in K$?


Uma vez, para todo $x \geq 1$ e $n \in \mathbb{N}$, vale a desigualdade $x^n>n(x-1)$. Temos como consequência que, para $0 < x < 1$ e $n \in \mathbb{N}$, tem-se:


Considere todos os números de cinco algarismos formados pela justaposição de $1, 3, 5, 7$ e $9$ em qualquer ordem, sem repetição. A soma de todos esses números está entre:


Para cada $n \in \mathbb{N}$, temos que: $$ 1 - \left(\begin{array}{l} 4n\\ 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{l} 4n\\ 4 \end{array}\right) -\cdots- \begin{pmatrix} 4n\\ 4n - 2 \end{pmatrix} + 1$$é igual a:


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