ITA 1995 - Questões

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01 ITA 1995 - Matemática

Dizemos que duas matrizes $n\times n$ $A$ e $B$ são semelhantes se existe uma matriz $n\times n$ inversível $P$ tal que $B = P^{-1}AP$. Se $A$ e $B$ são matrizes semelhantes quaisquer, então:

$B$ é sempre inversível.

Se $A$ é simétrica, então $B$ também é simétrica.

$B^2$ é semelhante a $A$.

Se $C$ é semelhante a $A$, então $BC$ é semelhante a $A^2$.

$det(\lambda I - B) = det(\lambda I - A)$, onde $\lambda $ é um real qualquer.

02 ITA 1995 - Matemática

Três pontos de coordenadas, respectivamente, $(0, 0)$, $(b, 2b)$ e $(5b, 0)$, com $b > 0$, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por:

03 ITA 1995 - Matemática

Uma vez, para todo $x \geq 1$ e $n \in \mathbb{N}$, vale a desigualdade $x^n>n(x-1)$. Temos como consequência que, para $0 < x < 1$ e $n \in \mathbb{N}$, tem-se:

$x^{n-1} < [n(1 + x)]^{-1}$

$x^{n-1} < [(n + 1)(1 + x)]^{-1}$

$x^{n-1} < [n^2(1 - x)]^{-1}$

$x^{n-1} < [(n + 1)(1 - x)]^{-1}$

$x^{n-1} < [n(1 - x)]^{-1}$

04 ITA 1995 - Matemática

Considere $C$ uma circunferência centrada em $O$ e raio $2r$, e $t$ a reta tangente a $C$ num ponto $T$. Considere também $A$ um ponto de $C$ tal que $\hat{AOT} = \theta$ é um ângulo agudo. Sendo $B$ o ponto de $t$ tal que o segmento $\overline{AB}$ é paralelo ao segmento $\overline{OT}$, então a área do trapézio $OABT$ é igual a:

$r^2(2 \cos \theta - \cos 2\theta)$

$2r^2(4 \cos \theta - \sin 2\theta)$

$r^2(4 \sin \theta - \sin 2\theta) $

$r^2(2 \sin \theta + \cos \theta)$

$2r^2(2 \sin 2\theta - \cos 2\theta)$

05 ITA 1995 - Matemática

Um dispositivo colocado no solo a uma distância $d$ de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo $\theta \in (0, \pi/4)$, atinge a torre a uma altura $h$. Se o segundo, disparado sob um ângulo $2\theta$, a atinge a uma altura $H$, a relação entre as duas alturas será:

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