ITA 1991 Matemática - Questões

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Considere as afirmações:

  • I- Se $f: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ é uma função par e $g:\mathbb{R}->\mathbb{R}$ uma função qualquer, então a composição gof é uma função par.

  • II- Se $f: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ é uma função par e $g: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ uma função ímpar, então a composição fog é uma função par.

  • III- Se $f: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ é uma função ímpar e inversível então $f^{-1} :\mathbb{R}->\mathbb{R}$ é uma função ímpar.

Então:


Sejam $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$ e $f: \mathbb{R}->\mathbb{R}$ definida por $f(x) = \dfrac{a^x - a^{-x}}{2}$ A função inversa de f é dada por:


Seja $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por: $$\begin{cases} e^x, \text{ se } x \leq 0\\ x^2 - 1, \text{ se } 0< x < 1\\ \ln x \, \text{ se } x \geq 1 \end{cases}$$Se $D$ é um subconjunto não vazio de $R$ tal que $f: D\to \mathbb{R}$ é injetora, então:

Notação: $f(D) = {y \in \mathbb{R}: y = f(x), x \in D}$ e $\ln x$ denota o logaritmo neperiano de x. Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente.

Sejam $w = a + bi$ com $b \neq 0$ e $a, b, c \in R$. O conjunto dos números complexos $z$ que verificam a equação $wz + \overline{wz} + c = 0$, descreve:


Se $z = \cos t + i \sin t$, onde $0 < t < 2\pi$ , então podemos afirmar que $w = \dfrac{1+z}{1-z}$ é dado por:


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