ITA 1973 Matemática - Questões

Sabe-se que a média harmônica entre o raio e a altura de um cilindro de revolução vale $4$. Quanto valerá a relação do volume para a área total deste cilindro?

O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função $X(t)=Ce^{kt}$, onde $X(t)$ é o número de bactérias no tempo $t\ge 0$; $C$ e $k$ são constantes positivas, ($e$ é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias $X(0)$, duplica em $4$ horas, quantas bactérias se pode esperar no fim de $6$ horas?

Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos $A$, $B$ e $C$. O comandante quando o navio está em $A$, observa um farol em $L$, e calcula o ângulo $L\hat{A}C = 30^{\circ}$. Após navegar $4$ milhas até $B$, verifica o ângulo $L\hat{B}C=75^{\circ}$. Quantas milhas separam o farol do ponto $B$?

Consideremos um cone de revolução de altura $h$, e um cilindro nele inscrito. Seja $d$ a distância do vértice do cone à base superior do cilindro. A altura $H$ de um segundo cilindro inscrito neste cone (diferente do primeiro) e de mesmo volume do primeiro é dada por:

O coeficiente de $a^{n-1-p}b^p$ no produto de$$a^k+\binom{k}{1}a^{k-1}b+\dots+\binom{k}{p}a^{k-p}b^p+\dots+b^k$$por $(a+b)$, se $k=n$, vale: