ITA 1960 - Questões

Nas linhas que se seguem há o enunciado de um "teorema" e sua “demonstração”.

Identifique o erro e estabeleça o resultado correto.

• Teorema:

Seja $T(x) = ax^2 + bx + c$, se $p$ e $q$ são números tais que $a.T(p) < 0$ e $a.T(q) > 0$ então $T(x) = 0$ tem duas raízes distintas e $p$ e $q$ estão entre as raízes. Além disso, se $a.T(r) = 0$, $r$ é necessariamente uma raiz de $T(x) = 0$.

• Demonstração:

Para $b^2 -4ac = 0$, os valores de $T(x)$ diferentes de zero terão o sinal de a; para $b^2 - 4ac < 0$, todo valor númerico de $T(x)$ terá sinal igual ao de $a$. Logo, se $T(x)$ e $a$ têm sinais opostos, só se admite a possibilidade $b^2 - 4ac > 0$. Nesse caso, entre as raízes é que estão os valores de $x$ que dão a $T(x)$ sinal oposto ao sinal de $a$. Razão essa que mostra que o número $q$ está entre as raízes.

Determinar $a$, $b$ e $c$ de modo que a identidade abaixo seja verificada. $a$, $b$ e $c$ não são simultaneamente iguais a zero. $$a(x - 2y +z) +b(x-3y+5z)+c(5x-11y+9z) = 0$$

Deduzir a fórmula que dá a área de um triângulo em função dos três lados e aplicá-la para o caso em que os três lados são $3\  m$, $5\  m$ e $6\  m$, respectivamente.

Afirmo que $\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x-1}$, isso é verdadeiro ou falso?

Seja $S$ uma superfície esférica em que se tomam dois pontos, $A$ e $B$, diametralmente opostos. Seja $C$ um círculo determinado pela intersecção de $S$ com um plano perpendicular a $AB$, Determinar a área de $C$ sabendo-se que as distâncias de $A$ e $B$ à circunferência de $C$ são respectivamente $6\  cm$ e $8\  cm$.