IME 2023 Matemática - Questões

Considere as matrizes $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Seja $X^T$ a transposta da matrix $X$. Sabendo que $X^TA^{-1}=B$ então $X^{-1}$ é

Seja $f(x)$ uma função definida em $\mathbb{R}$ tal que $f(1)=1$. Para todo $x \in \mathbb{R}$ valem as seguintes desigualdades $$f(x+7) \geq f(x) +7$$e$$f(x+1)\leq f(x)+1$$Se $g(x)=f(x-1)-x+2$, o valor de $g(2023)$ é

Considere os conjuntos de números complexos:$$A=\{x+iy \text{ tal que } x,y \in \mathbb{R} \text{ e } |x|+|y| \leq r \}\quad\text{e}\\ B=\{x+iy\text{ tal que } x,y \in \mathbb{R} \text{ e } \max \{|x-a|,|y-b|\}\leq c \}$$onde $r$, $a$, $b$ e $c$ são números reais positivos e $\max\{x_1, x_2\}$ é o maior valor entre os reais $x_1$ e $x_2$.

O menor valor de $r$, em função de $a$, $b$ e $c$, para que se tenha $B\subset A$ é

A equação $\arctan(z) + \arctan(z+1) = \arctan\bigg(\dfrac{4}{3}\bigg)$, em que $\arctan(x)$ é o arco tangente de $x$, apresenta:

Dez números reais formam uma progressão geométrica (PG) com razão $q > 1$. Removem-se ao acaso cinco desses números. A probabilidade de que os cinco números restantes estejam em PG é