IME 2023 - Questões

Se a equação $2x^2+cxy-3x+6y^2-4y-2=0$ representa no plano real duas retas concorrentes, então o valor positivo do número real $c$ é

Considere os conjuntos de números complexos:$$A=\{x+iy \text{ tal que } x,y \in \mathbb{R} \text{ e } |x|+|y| \leq r \}\quad\text{e}\\ B=\{x+iy\text{ tal que } x,y \in \mathbb{R} \text{ e } \max \{|x-a|,|y-b|\}\leq c \}$$onde $r$, $a$, $b$ e $c$ são números reais positivos e $\max\{x_1, x_2\}$ é o maior valor entre os reais $x_1$ e $x_2$.

O menor valor de $r$, em função de $a$, $b$ e $c$, para que se tenha $B\subset A$ é

Dez números reais formam uma progressão geométrica (PG) com razão $q > 1$. Removem-se ao acaso cinco desses números. A probabilidade de que os cinco números restantes estejam em PG é

A soma dos inversos das soluções inteiras da equação$$\begin{vmatrix} x & 2 & 3 \\ 2 & x & 3 \\ 2 & 3 & x \end{vmatrix}=0$$é

Seja $f(x)$ uma função definida em $\mathbb{R}$ tal que $f(1)=1$. Para todo $x \in \mathbb{R}$ valem as seguintes desigualdades $$f(x+7) \geq f(x) +7$$e$$f(x+1)\leq f(x)+1$$Se $g(x)=f(x-1)-x+2$, o valor de $g(2023)$ é