IME 2022 Matemática - Questões

Seja o sistema:$$\begin{cases}3x_1^2+3x_2^2+3x_3^2=6x_1-1 \\ 3x_1^2+3x_2^2+3x_4^2=6x_3-1 \\ 3x_1^2+3x_3^2+3x_4^2=6x_2-1 \\ 3x_2^2+3x_3^2+3x_4^2=6x_1-1 \end{cases}$$O valor de $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}$ é:

Seja $B$ o conjunto de todos os valores de $x\in\mathbb{R}$ para os quais a soma dos termos da progressão$$-\frac{4}{3x},\frac{16}{9x^2},-\frac{64}{27x^3},\frac{256}{81x^4},\cdots$$assume um valor finito. Define-se a função $f:B\to\mathbb{R}$ para cada $x\in B$, tal que$$f(x)=-\frac{4}{3x}+\frac{16}{9x^2}-\frac{64}{27x^3}+\frac{256}{81x^4}\cdots$$A soma das raízes da equação $f(x)=-x,x\in B$, é:

Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função$$f(x)=\ln{\left(\left|-\frac{7}{12}+x-x^2\right|^{(3x-1)}\right)}$$e que passam pelo ponto $\left(\frac{1}{3},f\left(\frac{1}{3}\right)\right)$.

O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é:

Quantos pares ordenados $(x,y)$ de números inteiros satisfazem a equação $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{23}$?

Seja $\alpha\in\mathbb{R}$ e $z_1,z_2,z_3$ números complexos tais que $|z_1|=|z_2|=|z_3|=4$ e $z_1\neq z_2$. O menor valor de $|\alpha z_1-(\alpha-1)z_2-z_3|$, é: