IME 2020 - Questões

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Em um cubo regular de aresta $a$, os pontos $M$, $N$ e $L$ pertencentes às três arestas distintas que partem do vértice $A$ estão a uma distância $x$ de $A$ tal que $0 < x \leq \frac{a}{2}$. Para que plano $MNL$ seja tangente à esfera inscrita no cubo, o valor de $x$ é:


Considere os conjuntos $A = \{0{,} \ 1{,} \ 2{,} \ 3{,} \ 4\}$ e $B = \{1{,} \ 2{,} \ 3{,} \ 4{,} \ 5{,} \ 6{,} \ 7{,} \ 8{,} \ 9{,} \ 10\}$. Seja $F$ o conjunto de funções cujo domínio é $A$ e cujo contradomínio é $B$. Escolhendo-se ao acaso uma função $f$ de $F$, a probabilidade de $f$ ser estritamente crescente ou ser injetora é:


Seja $A = \{ z \in \mathbb{C} \ \mid \ 2 \leq |z - 3 - 4i| \leq 3 \}$ onde $C$ é o conjunto dos números complexos. O valor do produto entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto $A$ e o conjugado do complexo de maior módulo do mesmo conjunto $A$ é:


Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é $1105$, a soma dos seis números das faces é:


O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que $1800$ está no intervalo:


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