IME 2014 Matemática - Questões

Qual é o menor número?

O polinômio $P(x) = x^5 - 3x^4 +10x^3 - 30x^2 + 81x - 243$ possui raízes complexas simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas as raízes do polinômio.

Seja a matriz $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$, em que $a$, $b$ e $c$ são números reais positivos satisfazendo $abc = 1$. Sabe-se que $A^{T} A = I$, em que $A^{T}$ é a matriz transposta de $A$ e $I$ é a matriz identidade de 3ª ordem. O produto dos possíveis valores de $a^3 + b^3 + c^3$ é

Calcule o determinante abaixo, no qual $\omega = \text{cis}\ {\frac{2 \pi}{3}}$ e $i = \sqrt{-1}$.$$\begin{vmatrix} 1 & \omega & 0 & i \\ i & 1 & -i & \omega^{2} \\ 1 - i & \omega & i - 1 & 1 \\ 0 & \omega & 1 & i \end{vmatrix}$$

Sejam $W = \{y \in \mathbb{R} \mid 2k + 1 \leq y \leq 3k – 5 \}$ e $S = \{y \in \mathbb{R} \mid 3 \leq y \leq 22 \}$. Qual é o conjunto dos valores de $k \in \mathbb{R}$ para o qual $W \neq \varnothing$ e $W \subseteq (W \cap S)$?