IME 2011 - Questões

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Considere o sistema de equações lineares representado abaixo:$$\begin{pmatrix}1 &3 &0& 2 &1 &0 \\ 0 &2 &0 &3 &0 &0 \\ 1 &5 &0 &0 &0 &0 \\ 3 &1 &2& 0 &0 &0 \\ 4 &0 &0 &0 &0 &0 \\ 2 &0& 0& 1& 0& 2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\11\\7\\9\\8\\13\end{pmatrix}$$

Os valores de $a$ e $d$ são, respectivamente:


A base de uma pirâmide é um retângulo de área $S$. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de $30^\circ$ e $60^\circ$ com a base. O volume da pirâmide é;


Uma reta, com coeficiente angular $a_1$  passa pelo ponto $(0,-1)$. Uma outra reta, com coeficiente angular az, passa pelo ponto $(0,1)$. Sabe-se que $a_1^2 +a_2^2 =2$. O lugar geométrico percorrido pelo ponto de interseção das duas retas é uma:


O pipoqueiro cobra o valor de $R\$ 1,00$ por saco de pipoca. Ele começa seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro têm uma moeda de $R\$ 1,00$ e quatro uma nota de $R\$ 2,00$. Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprará exatamente um saco de pipoca, a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagarão com a nota de $R\$ 2,00$ é:


O valor de $x$ que satisfaz a equação $\sin (\arctan (1 + x)) = \cos(\arctan(x))$:


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