IME 2010 - Questões

Seja $M$ um ponto de uma elipse com centro $O$ e focos $F$ e $F^\prime$. A reta $r$ é tangente à elipse no ponto $M$ e $s$ é uma reta, que passa por $O$, paralela a $r$. As retas suportes dos raios vetores $MF$ e $MF^\prime$ interceptam a reta $s$ em $H$ e $H^\prime$, respectivamente. Sabendo que o segmento $FH$ mede $2\  cm$, o comprimento $F^\prime H^\prime$ é:

O valor da expressão $y=\sin{[\arcsin(\frac{1}{a^2-1})+\arccos(\frac{1}{a^2-1})]}$, onde $a$ é um número real e $a \in (-1,0)$, é:

Considere o sistema $\begin{cases} xy+x-y=5 \\ x^3y^2-x^2y^3-2x^2y+2xy^2=6 \end{cases}$, onde $x$ e $y$ são números inteiros. O valor de $x^3 + y^2 + x^2 + y$ é:

Seja o polinômio $p(x) = x^3+ (\ln a) x +e^b$, onde $a$ e $b$ são números reais positivos diferentes de zero. A soma dos cubos das raízes de $p(x)$ depende

Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e $\ln$ a função logaritmo neperiano.

Considere o determinante de uma matriz de ordem $n$ definido por:

$$\Delta_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&1& \cdots & 1&1 \\ -1&3&0&0&\cdots &0&0 \\ 0&-1&3&0&\cdots &0&0 \\ 0&0&-1&3& \cdots &0&0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\ 0&0&0&0& \cdots &3&0 \\ 0&0&0&0&\cdots &-1&3 \end{vmatrix}$$

Sabendo que $\Delta_1 = 1$, o valor de $\Delta_{10}$ é