IME 2005 Matemática - Questões

Dada a função $f(x)=\frac{(156^x+156^{-x})}{2}$, demonstre  que:

$$f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)$$

O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e percebe que:

• a senha utilizada possui $4$ dígitos;

• o primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha;

• o segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior.

Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa.

Sejam $a, b, c$ e $d$ números reais positivos e diferentes de $1$. Sabendo que $\log_a d, \log_b d$ e $\log_c d$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que:$$c^2=(ac)^{\log_a d}$$

Determine o valor das raízes comuns das equações:

$$x^4-2x^3-11x^2+18x+18=0\text{ e } -12x^3-44x^2-32x-52=0$$

Resolva a equação

$$2 \sin11x + \cos 3x + \sqrt3 \sin 3x = 0$$