IME 2004 - Questões

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Considere uma pirâmide regular de altura $h$, cuja base é um hexágono $ABCDEF$ de lado $a$. Um plano perpendicular à base e contendo os pontos médios das arestas $AB$ e $BC$ divide a pirâmide em dois poliedros. Calcule o razão entre os volumes destes dois poliedros.

Seja uma função $f:\mathbb{R}-\{0\}\rightarrow \mathbb{R}$, onde $\mathbb{R}$ representa o conjunto dos números reais, tal que $f(a/b)= f(a)-f(b)$ para $a$ e $b$ pertencentes ao domínio de $f$. Demonstre que $f$ é uma função par.

Considere a parábola $P$ de equação $y = ax^2$, com $a > 0$ e um ponto $A$ de coordenadas $(x_0 , y_0 )$ satisfazendo a $y_0 <a x_0^2$. Seja $S$ a área do triângulo $ATT^\prime$, onde $T$ e $T^\prime$ são os pontos de contato das tangentes a $P$ passando por $A$.

a) Calcule o valor da área $S$ em função de $a$, $x_0$ e $y_0$.

b) Calcule a equação do lugar geométrico do ponto $A$, admitindo que a área $S$ seja constante.

c) Identifique a cônica representada pela equação obtida no item anterior.

Considere o polinômio $P(x)=x^3 +ax+b$ de coeficientes reais, com $b \neq 0$. Sabendo que suas raízes são reais, demonstre que $a<0$.

Ao final de um campeonato de futebol, somaram-se as pontuações das equipes, obtendo-se um total de $35$ pontos. Cada equipe jogou com todos os outros adversários apenas uma vez. Determine quantos empates houve no campeonato, sabendo que cada vitória valia $3$ pontos, cada empate valia $1$ ponto e que derrotas não pontuavam.

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