IME 2001 - Questões

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Determine todos os números inteiros $m$ e $n$ para os quais o polinômio $2x^m + a^{3n}x^{m - 3n} - a^m$ é divisível por $x + a$.

Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que dois números complexos $Z_1$ e $Z_2$ são ortogonais se e somente se:

$Z_{1} \overline{Z_{2}} + \overline{Z_{1}} Z_{2} = 0$

Obs: $\overline{Z}$ indica o conjugado de um número complexo $Z$.

Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de $11$ patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas têm somente um homem em comum. Determine o número de voluntários e o de integrantes de uma patrulha.

Considere o polinômio de grau mínimo, cuja representação gráfica passa pelos pontos $P_{1}(-2{,} \ -11){,} \ P_{2}(-1{,} \ 0){,} \ P_{3}(1{,} \ 4)$ e $P_{4}(2{,} \ 9)$.

a) Determine os coeficientes do polinômio.

b) Calcule todas as raízes do polinômio.

Prove que para qualquer número inteiro $k$, os números $k$ e $k^5$ terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).

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