IME 1999 - Questões

Calcule o valor de $(1,02)^{-10}$, com dois algarismos significativos, empregando a expansão do binômio de Newton .

Determine $\alpha$ para que seja impossível o sistema:

$$\begin{cases} x+2y-3z=4 \\ 3x-y+5z=2 \\ 4x+y+(\alpha^2-14)z=\alpha+2 \end{cases}$$

Determine uma matriz não singular $P$ que satisfaça à equação matricial:

$$P^{-1}A=\begin{bmatrix}6&0\\0&-1 \end{bmatrix}\text{, onde }A=\begin{bmatrix}1&2\\5&4 \end{bmatrix}$$

Sejam as funções $g(x)$ e $h(x)$ assim definidas:

$$g(x) = 3x - 4$$

$$h(x) = f(g(x)) = 9x^2- 6x + 1$$

Determine a função $f(x)$ e faça seu gráfico.

Uma piscina de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões: base, $5 \times 6$ e altura, $3$. Dois terços do volume da piscina sã o ocupados por água. Na superfície superior da água, forma-se uma pequena bolha de ar. A bolha de ar está equidistante das paredes de $5m$ de base. Em relação às paredes de $6m$ de base, sua posição é tal que a distância a uma das paredes é o dobro da distância à outra. Estabeleça um sistema de coordenadas retangulares que tenha como origem um dos cantos interiores da piscina e como um dos planos coordenados a parede de base de $6m$ mais próxima da bolha. Em relação a este sistema, determine as coordenadas retangulares do ponto onde se encontra a bolha de ar.