IME 1998 Matemática - Questões

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Determine a solução da equação trigonométrica, $\sin{x} + \sqrt{3}\cos{x} = 1, \ x \in \mathbb{R}$.

Resolva e interprete, geometricamente, o sistema matricial abaixo, em função de $\alpha$ e $\beta$.

$${\begin{bmatrix}1       &   -2       &   3        \\5       &   -6       &   7        \\6       &   8        &   \alpha \end{bmatrix} }\cdot {\begin{bmatrix}x     \\y     \\z     \\            \end{bmatrix}}              ={\begin{bmatrix}-4     \\-8     \\\beta  \\            \end{bmatrix}}$$

Determine os valores de $\lambda$ que satisfaçam a inequação, $27^{2 \lambda} - \frac{4}{9} \cdot 27^{\lambda} + 27^{-1} > 0$, e represente, graficamente, a função, $y = 27^{2x} - \frac{4}{9} \cdot 27^{x} + 27^{-1}$.

Determine os parâmetros $\alpha{,} \ \beta{,} \ \gamma$ e $\delta$ da transformação complexa, $W = \frac{\alpha \cdot Z + \beta}{\gamma \cdot Z + \delta}$, que leva os pontos $Z = 0$; $-i$; $-1$ para $W = i$; $1$; $0$, respectivamente, bem como, $Z$ para $W = -2 - i$, onde $i = \sqrt{-1}$.

Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na origem, $O$, de um sistema cartesiano, com eixo focal coincidente com o eixo $Ox$. Os focos da elipse são vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são vértices da elipse. Dados os eixos da elipse como $10 \ cm$ e $\frac{20}{3} \ cm$, determine as equações das parábolas, que passam pelas interseções da elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixo $Oy$ na origem.

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