IME 1998 - Questões

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Determine os valores de $\lambda$ que satisfaçam a inequação, $27^{2 \lambda} - \frac{4}{9} \cdot 27^{\lambda} + 27^{-1} > 0$, e represente, graficamente, a função, $y = 27^{2x} - \frac{4}{9} \cdot 27^{x} + 27^{-1}$.

Considere uma elipse e uma hipérbole centradas na origem, $O$, de um sistema cartesiano, com eixo focal coincidente com o eixo $Ox$. Os focos da elipse são vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são vértices da elipse. Dados os eixos da elipse como $10 \ cm$ e $\frac{20}{3} \ cm$, determine as equações das parábolas, que passam pelas interseções da elipse e da hipérbole e são tangentes ao eixo $Oy$ na origem.

Determine $\alpha{,} \ \beta$ e $\gamma$ de modo que o polinômio, $\alpha x^{\gamma + 1} + \beta x^{\gamma + 1}$, racional inteiro em $x$, seja divisível por $(x - 1)^2$ e que o valor numérico do quociente seja igual a $120$ para $x = 1$.

Resolva e interprete, geometricamente, o sistema matricial abaixo, em função de $\alpha$ e $\beta$.

$${\begin{bmatrix}1       &   -2       &   3        \\5       &   -6       &   7        \\6       &   8        &   \alpha \end{bmatrix} }\cdot {\begin{bmatrix}x     \\y     \\z     \\            \end{bmatrix}}              ={\begin{bmatrix}-4     \\-8     \\\beta  \\            \end{bmatrix}}$$

Considere o cubo de faces $ABCD$ e $EFGH$, e arestas $\overline{AE}$, $\overline{BF}$, $\overline{CG}$ e $\overline{DH}$. Sejam as arestas iguais a $3 \ m$ e os pontos $M$, $N$ e $P$ marcados de forma que:

  • $M \in \overline{AD}$, tal que $AM = 2 \ m$,

  • $N \in \overline{AB}$, tal que $AN = 2 \ m$, e

  • $P \in \overline{BF}$, tal que $BP = 0{,}5 \ m$.

Calcule o perímetro da seção que o plano $MNP$ determina no cubo.

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