IME 1993 - Questões
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Prove, por indução, que:$$(a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1}b + \cdots + C^n_n b^n,\quad \text{para }n \in \mathbb{N}$$
Determine os valores de $x$ para que:$$\begin{vmatrix} x& 2& 4& 6 \\x &x + 2& 0& 10 \\ x^2 & 0& 4x& 4 \\x& 4& 10& x - 2 \end{vmatrix} = 0$$
Considere uma função $L : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ que satisfaz:
$L$ é crescente, isto é, para quaisquer $0 < x < y$ tem-se $L(x) < L(y)$.
$ L(x\cdot y) = L(x) + L(y)$ para quaisquer $x, y > 0$.
Mostre que:
a) $L(1) = 0$;
b) $L(1/x) = -L(x)$ para todo $x > 0$;
c) $L(x/y) = L(x) - L(y)$ para quaisquer $x, y > 0$;
d) $L(x^n) = nL(x)$ para todo $x > 0$ e natural $n$;
e) $L(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} L(x)$ para todo $x > 0$ e natural $n$;
f) $L(x) < 0 < L(y)$ sempre que $0 < x < 1 < y$.
Numa escola há $15$ comissões, todas com igual número de alunos. Cada aluno pertence a duas comissões e cada duas comissões possui exatamente um membro em comum. Todos os alunos participam.
a) Quantos alunos tem a escola?
b) Quantos alunos participam de cada comissão?
Provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer interior a um triângulo equilátero aos lados é constante.
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