IME 1991 Matemática - Questões

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Determine todas as matrizes $X$ reais, de dimensões $2 \times 2$, tais que $AX = XA$, para toda matriz $A$ real $2 \times 2$.

Sejam um círculo, com centro $O$ e raio $R$, e um ponto $P$ tal que $\overline{OP} = 3R$.


a) Determine o diâmetro $\overline{MN}$ de modo que o triângulo $PMN$ seja retângulo com ângulo reto em $M$.

b) Calcule, em função de $R$, os lados e a área do triângulo $PMN$.

c) $PN$ intercepta a circunferência em um segundo ponto $K$. Calcule $\overline{PK}$.

d) O diâmetro $\overline{MN}$ gira em torno de $O$. Qual o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de $P$ sobre $\overline{MN}$?

e) Determine a posição do diâmetro $\overline{MN}$ para que a área do triângulo $PMN$ seja máxima.

Dado o conjunto $A = \{1{,} \ 2{,} \ 3{,} \cdots {,} \ 102\}$, pede-se o número de subconjuntos de $A$, com três elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três


Considere um círculo e uma reta que não se interceptam, ambos contidos num plano. Determine o lugar geométrico dos centros dos círculos que são tangentes ao círculo dado (exteriormente) e à reta dada.


A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois décimos do total de selos estão no primeiro volume, alguns sétimos do total estão no segundo volume e $303$ selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem?


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