IME 1988 - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!
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a) Mostre que se $$p(x) = a_0 +a_1x+a_2x^2 +a_1x^3 +a_0x^4$$então existe um polinômio $g(x)$ do $2^\circ$ grau, tal que $p(x) = x^2g(x + x-1)$.

b) Determine todas as raízes do polinômio $$p(x) = 1 +4x + 5x^2 + 4x^3 + x^4$$

Considere a sequência cujos primeiros termos são:$$1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \cdots$$ Seja $a_n$ seu n-ésimo termo.

Mostre que$$a_n < \left( \frac{1 + \sqrt5}{2} \right) ^n$$para todo $n \geq 2$.

Considere um torneio de xadrez com $10$ participantes. Na primeira rodada cada participante joga somente uma vez, de modo que há $5$ jogos realizados simultaneamente. De quantas formas distintas esta primeira rodada pode ser realizada? Justifique sua resposta.

Para que valores de $x$ a função $$f(x) = |x|^\frac{1}{\ln x^4} \cdot \ln x^2$$ assume o valor $e^{14}$ ?

Obs: $\ln$ denota logaritmo neperiano.

Sejam $A$, $B$ e $C$ matrizes $5 \times 5$, com elementos reais. Denotando-se por $A^t$ a matriz transposta de $A$:

a) Mostre que se $AA^t = 0$, então $A = 0$.

b) Mostre que se $BAA^t = CAA^t$, então $BA = CA$.

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