IME 1987 - Questões
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Dados dois conjuntos $A$ e $B$, define-se $$A\Delta B = (A - B) \cup (B - A)$$ Prove que dados três conjuntos arbitrários $X$, $Y$ e $Z$$$X \cap (Y\Delta Z) = (X \cap Y )\Delta (X \cap Z)$$
Seja $f$ uma função de uma variável real definida por$$f(x) = \ln (e^{2x} - e^x + 3)$$onde $\ln$ é o logaritmo neperiano.
a) Calcule o domínio e a imagem de $f$.
b) Determine uma função $\varphi (x)$ com $\lim_{n \to \infty}{\varphi (x)} = 0$, tal que $f(x) = 2x + \varphi (x)$, para todo $x$ pertencente ao domínio de $f$.
c) Faça o gráfico de $f(x)$, indicando seus mínimos e máximos relativos e suas assíntotas.
Sejam $a$, $b$, $c$ números inteiros tais que $100a+10b+c$ seja divisível por $109$. Mostre que $(9a - c)^2 + 9b^2$ também é divisível por $109$.
Determine as soluções reais do sistema$$\begin{cases}x^2y + xy^2 = 70 \\ (x + y)\cdot (x^2 + y^2) = 203 \end{cases}$$
Sejam$$A=\begin{bmatrix} a & b\\ c&d\\e&f\\g&h \end{bmatrix} \text{ e } B = \begin{bmatrix} i&j&l&m \\ n&o&p&q \end{bmatrix}$$duas matrizes de elementos inteiros. Verifique se a matriz $AB$ é inversível.
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