IME 1985 - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!
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Determine o valor de $b$ tal que

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{t=0}^{n} {\log_{p}{5^{t+1}}} = 4$$

onde $p = b^{(t+1)2^{t}}$.

Sejam $z_1$ e $z_2$ complexos de raios vetores $OP_1$ e $OP_2$, respectivamente. Mostre que $OP_1$ e $OP_2$ são perpendiculares se e somente se $z_1 \overline{z_2}$ é um imaginário puro.

Obs: $\overline{z}$ é o conjugado complexo de $z$.

Seja a sequência $\{v_n\}$, $n = 0{,} \ 1{,} \ 2{,} \ldots$, definida a partir de seus dois primeiros termos $v_0$ e $v_1$ e pela fórmula geral

$$v_n = 6v_{n-1} - 9v_{n-2}\text{, para }n \geq 2$$

Define-se uma nova sequência $\{u_n\}$, $n = 0{,} \ 1{,} \ 2{,} \ldots$, pela fórmula $v_n = 3^{n}u_{n}$.

a) Calcule $u_n - u_{n-1}$ em função de $u_0$ e $u_1$.

b) Calcule $u_n$ e $v_n$ em função de $n$, $v_1$ e $v_0$.

c) Identifique a natureza das sequências $\{v_n\}$ e $\{u_n\}$ quando $v_1 = 1$ e $v_0 = \frac{1}{3}$.

Encontre o valor de $k$ para que a reta determinada pelos pontos $A(0{,} \ 3)$ e $B(5{,} \ -2)$ seja tangente à curva $y = \frac{k}{x + 1}$ para $x \neq 1$.

Um exame vestibular se constitui de $10$ provas distintas, $3$ das quais da área de Matemática. Determine de quantas formas é possível programar a sequência das $10$ provas, de maneira que duas provas da área de Matemática não se sucedam.

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