IME 1981 Matemática - Questões

Dada a função $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida como$$f(x) = \frac{1}{x^3}-\frac{1}{x}, x \neq 0$$$$f(x) = 1, x = 0$$determine os valores de $m$ para os quais o gráfico de $f$ admite tangente paralela à reta $y = mx$.

Sejam $(c)$ um círculo de raio $r$, distante $h$ de um plano $(\pi)$, $I$ o traço nesse plano do eixo $(\Delta)$ do círculo (isto é, a perpendicular ao plano de $(c)$ pelo centro de $(c)$), e $P$ um ponto fixo de $(\pi)$ distante $h$ de $I$. Liga-se $P$ a um ponto $M$, móvel, que percorre toda a circunferência de $(c)$, e define-se um plano $(\sigma)$ variável, normal a $(\pi)$, que conterá sempre $PM$. Na interseção de $(\sigma)$ com $(\pi)$ existem dois pontos distantes $h\sqrt3$ de $M$. Seja $A$ aquele cuja distância a $P$ é a maior. Determine:

Determine os valores de $h$, de modo que a desigualdade$$-3 <\frac{x^2 - hx + 1}{x^2 + x + 1}< 3$$seja válida para qualquer $x$ real.

Dada uma pirâmide hexagonal regular de vértice $V$ e base $ABCDEF$, de lado da base igual a $b$ e altura igual a $\frac{3b}{2}$, traça-se o plano perpendicular à aresta $V B$ no ponto $M$, tal que este plano contenha os vértices $A$ e $C$. Determine, para a pirâmide de vértice $M$ e base $ABC$ assim formada:

Dados dois triângulos equiláteros $ABC$ e $A^\prime BC$, traça-se por $A^\prime$ uma reta qualquer que encontra os lados $AC$ e $AB$, ou os seus prolongamentos, nos pontos $D$ e $E$, respectivamente. Determine o lugar geométrico dos pontos de encontro das retas $BD$ e $CE$.