IME 1981 - Questões
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Dados dois triângulos equiláteros $ABC$ e $A^\prime BC$, traça-se por $A^\prime$ uma reta qualquer que encontra os lados $AC$ e $AB$, ou os seus prolongamentos, nos pontos $D$ e $E$, respectivamente. Determine o lugar geométrico dos pontos de encontro das retas $BD$ e $CE$.
Mostre que o número $$\underbrace{4444 . . . 4}_{\text{n vezes}} \underbrace{8888 . . . 8}_{\text{(n-1) vezes}}9$$é um quadrado perfeito.
A população de um país, no ano $t$, $t \geq 1860$, é dada, aproximadamente, por:$$N(t^\prime) = \frac{L}{1 + e^{\frac{\lambda – t^\prime}{α}}}, \text{ onde $t^\prime = t-1860$}$$$L$, $\lambda$, $\alpha$ são constantes reais e $10^6 \times N(t^\prime)$ é o número de habitantes.
a) Calcule a população do país no ano $2000$, sabendo-se que em $1860$, ele tinha $15$ milhões de habitantes, em $1895$, $18$ milhões de habitantes e em $1930$, $20$ milhões de habitantes.
b) Ao longo do tempo, a população tenderá a um número finito de habitantes? Justifique sua resposta.
Determine os valores de $h$, de modo que a desigualdade$$-3 <\frac{x^2 - hx + 1}{x^2 + x + 1}< 3$$seja válida para qualquer $x$ real.
Prove a seguinte identidade:
$$\begin{pmatrix}n + 1\\2m + 1\end{pmatrix} = \sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n-k \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix}} \text{,}$$onde $n$ e $m$ são inteiros positivos e$$\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}= \frac{n!}{(n - m)!m!}\text{, para $n \geq m$}$$e $\begin{pmatrix}n \\ m \end{pmatrix}= 0$, para $n < m$.
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