IME 1980 Matemática - Questões

Seja um barco com $8$ lugares, numerados como no diagrama seguinte:

Há $8$ remadores disponíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: os remadores $A$ e $B$ só podem sentar no lado ímpar e o remador $C$, no lado par. Os remadores $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ podem ocupar quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidas com o barco totalmente guarnecido?

Seja $ABC$ um triângulo no qual se supõe que a mediana $AM$ é tal que o triângulo $ABM$ é semelhante ao triângulo $ABC$.

Calcule a razão de semelhança, e determine o lugar geométrico do vértice $B$ supondo $A$ e $C$ fixos.

Seja $I = [-1, 2] \subset \mathbb{R}$. Dê exemplo de uma função contínua em $I$ tal que não exista um ponto $a \in ]-1, 2[$ que satisfaça a condição:$$f(2) - f(-1) = 3f^\prime (a)$$

Seja $ABC$ um triângulo no qual se supõe que a mediana $AM$ é tal que o triângulo $ABM$ é semelhante ao triângulo $ABC$.

Mostre que o círculo que passa pelos pontos $A$, $C$ e $M$ tangencia a reta $AB$.

Determine o polinômio $f(x)$ de coeficientes racionais e do $7^\circ$ grau, sabendo-se que: $f(x) + 1$ é divisível por $(x − 1)^4$ e que $f(x) - 1$ é divisível por $(x + 1)^4$.