IME 1978 - Questões

Mostre que, em toda reunião constituída de seis pessoas, uma das hipóteses necessariamente ocorre (podendo ocorrer ambas):

Seja o conjunto $A=\{ z\in\mathbb{C} | |z|=1\}$. Determine a imagem de $A$ pela função $g$, complexa de variável  complexa, tal que $g(z) = (4 + 3i)z + 5 - i$.

Sejam $A$, $B$, $C$, $D$ matrizes reais $2 \times 2$. $$A = (a_{ij})\ \ ;\ \  A^{-1} =B= (b_{ij})$$ $$C = (c_{ij})\ \ ;\ \ c_{ij}= a_{ij}^{-1}$$ $$D = (d_{ij})\ \  ;\ \  d_{ij} = b_{ij}^{-1}$$Sabe-se que $a_{ij}b_{ij}\neq0$, $1\leq i\leq2$; $l\leq j \leq2$, e que $C$ é matriz singular (não admite inversa). Calcule o determinante de $D$.

Seja um polinômio$$p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$com coeficientes reais. Sabe-se que $p(0)=0$, $p(2)=4$, que a reta tangente a $p(x)$ no ponto $(1,1)$ é paralela à reta $y=2x+2$ e que a reta tangente a $p(x)$ no ponto $(2,4)$ é perpendicular à reta $y=-\frac{1}{3}x-4$. Determine os coeficientes $a_3$, $a_2$, $a_1$, $a_0$.

Sejam $R$ e $S$ duas retas quaisquer. Sejam $P_2=(x_2,y_2)$, $P_4(x_4,y_4)$, $P_6=(x_6,y_6)$ três pontos distintos sobre $R$ e $P_1=(x_1,y_1)$, $P_2=(x_2,y_2)$, $P_3=(x_3,y_3)$. O segmento $P_2P_3$ não é paralelo ao segmento $P_1P_4$, o segmento $P_1P_6$ não é paralelo ao segmento $P_2P_5$; e o segmento $P_3P_6$ não é paralelo ao segmento $P_4P_5$; Sejam: 

• $A$, a interseção dos segmentos $P_2P_3$ e $P_1P_4$, 

• $B$, interseção de $P_1P_6$ com $P_2P_5$ e 

• $C$, interseção de $P_3P_6$ com $P4P5$.

Prove que os pontos $A$, $B$ e $C$ estão em linha reta.