IME 1977 - Questões

Sejam $A{,} \ B \in \mathbb{R}^{2}$ de coordenadas cartesianas $(2{,} \ 5)$ e $(1{,} \ 3)$, vértices fixos de um conjunto de triângulos de área $12$. Determine a equação do lugar geométrico do conjunto de pontos $C$, terceiro vértice destes triângulos.

Sejam as regiões definidas pelos conjuntos de pontos $A$ e $B$ onde

$$A = \{(x{,} \ y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ y^2 < mx{,} \ m \in \mathbb{R}^{+} \}\\ B = \{(x{,} \ y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ y^2 < nx{,} \ n \in \mathbb{R}^{+} \}$$

Determine a área do conjunto $C = A \cap B$.

Seja $a{,} \ b \in \mathbb{R}^{+}$. Mostre que a equação$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x – b} = 0$$possui todas suas raízes reais, sendo uma no intervalo $] -b{,} \ 0[$ e a outra no intervalo $]0{,} \ a[$.

Sejam $x_1$ e $x_2$ raízes da equação$$x^2 - (a + d)x + ad - bc = 0$$onde $a{,} \ b{,} \ c{,} \ d \in \mathbb{R}$. Determine $A$ de modo que $x^{3}_{1}$ e $x^{3}_{2}$ sejam raízes da equação:$$y^2 - (a^3 + d^3 + 3abc + 3bcd)y + A = 0$$

São dados $n$ pontos em um plano, supondo-se:

1. Cada três pontos quaisquer não pertencem a uma mesma reta.

2. Cada par de retas por eles determinado não é constituído por retas paralelas.

3. Cada três retas por eles determinadas não passam por um mesmo ponto.

Pede-se o número de interseções das retas determinadas por esses pontos distintos dos pontos dados.