IME 1973 - Questões

Considere os algarismos $1{,} \ 2{,} \ 3{,} \ 4{,} \ 5$. Uma das permutações possíveis destes algarismos origina o número $42351$. Determine a soma dos números formados, quando os algarismos acima são permutados de todos os modos possíveis.

Considere a cônica 

$x^2 - y^2 = 1$ 

Suponha que $T$ é a tangente à cônica dada. Suponha ainda, que $N$ é uma reta que contém o ponto de coordenadas $(0{,} \ 0)$ e é normal a $T$. Determine o lugar geométrico dos pontos do plano $xy$ que pertencem, simultaneamente, a $N$ e a $T$.

Calcule 

$\lim_{x \to \infty} \bigg(a + {1/{7x}} \bigg)^x$

Dado o sistema $\begin{cases} 4x_1 - 4x_2 - 17x_3 + 17x_4 + 4x_5 - 4x_6 = 0 \\ x_1 - mx_2 = 0 \\ x_2 - mx_3 = 0 \\ x_3 - mx_4 = 0 \\ x_4 - mx_5 = 0 \\ x_5 - mx_6 = 0\end{cases}$
Determine os valores de $m$ para os quais $x_i \ne 0$, com $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

Considere uma curva de equação 

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 

Suponha que esta curva tem um ponto de inflexão em $(0{,} \ 4)$ e que é tangente ao eixo $Ox$ em $(2{,} \ 0)$. Determine os valores de $a{,} \ b{,} \ c{,} \ d$, esboçando o gráfico da curva.