IME 1968 - Questões

Conforme a figura abaixo, considere um triângulo retângulo isósceles $ABC$ e o círculo $\beta$ a ele circunscrito; sobre a circunferência toma-se um ponto $M$ distinto de $A$, $B$ ou $C$ de tal modo que as retas $MA$, $MB$ e $MC$ cortem as retas $BC$, $CA$ e $AB$ nos pontos $A^\prime$, $B^\prime$ e $C^\prime$ respectivamente. Considere-se o círculo $\Gamma_M$ que passa por $A^\prime$, $B^\prime$ e $C^\prime$. Mostre que, quando $M$ descreve o círculo $\beta$, nas condições acima, os círculos $\Gamma_M$ têm os seus centros sobre uma reta fixa e cortam ortogonalmente um círculo fixo.

Seja $g$ uma função real de variável real, par (isto é: $g(x) = g(-x))$ e derivável. Prove que sua derivada $g^\prime$ é uma função ímpar (isto é: $g^\prime(-x) = -g^\prime(x)$).

Resolva a equação $$x^{10}-2x^9+2x^8+x^6-2x^5+2x^4-12x^2+24x-24 = 0$$ a qual admite uma raiz complexa de módulo $\sqrt2$ e argumento $\pi/4$.

Seja $f$ uma função real de variável real, tal que:$$f(x) =\begin{cases}x + 2, &x < -1\\|x|, &-1\leq x\leq 1\\2, &x >1\end{cases}$$Determine a função $F$, real de variável real, cuja derivada seja $f$, de modo que $F(0) = 0$.

A reta $x - 25/4 = 0$ é uma das diretrizes de uma elipse e $(4, 0)$ é o foco associado. O centro está na origem. Ache a equação da elipse.