IME 1967 - Questões

De quantas maneiras $3$ rapazes e $2$ moças podem ocupar $7$ cadeiras em fila, de modo que as moças sentem juntas umas das outras, e os rapazes juntos uns dos outros.

Entre os números $3$ e $192$ insere-se igual número de meios aritméticos e geométricos com razões $r$ e $q$ respectivamente. Sabe-se que o terceiro termo do desenvolvimento de $(1+1/q)^8$ em potências decrescentes de $1/q$ é $r/9q$. Pede-se para determinar as progressões.

O ponto $Q(2,1)$ pertence à cônica de equação $4x^2+ 30xy + 4y^2 — 40x + 210y = 210$. Determine as novas coordenadas de Q, após a transformação que elimina o termo em $xy$.

Seja a parábola $y^2 = 4x$. Uma reta de coeficiente angular positivo contém o foco e intercepta a curva nos pontos $A$ e $ B$. Determine as coordenadas de $A$ ou de $B$, sabendo que o eixo $OX$ divide o segmento $AB$ em partes proporcionais a $3$ e $1$.

Sabe-se que os números $x_1,x_2,\cdots,x_n$ formam uma progressão aritmética de razão $r$; e que $g(x_1),g(x_2),...,g(x_{n})$ formam uma progressão geométrica de razão $2$. Sendo $ g(x) = a^{f(x)}$ e $f(x)=Kax+b$, $K\neq 0$; calcule $r$ para $a = 10$ e $K = \log 2$.