IME 1957 Matemática - Questões
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Dá-se a função $$f(x)=\ln{\frac{x(5-x)}{\sqrt{x^2-5x+6}}}$$ Pedem-se:
a) Determinar os valores de $x$ para os quais $f(x)$ é definida (campo de definição da função).
b) Dizer, justificando, se $f(x)$ é derivável no ponto $x =6$ e se a função referida admite, para algum valor finito de $x$, derivada infinita.
Um poliedro convexo apresenta faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o número de faces pentagonais de duas unidades. Pergunta-se o número de faces de cada espécie, sabendo-se que o poliedro tem sete vértices.
Resolver a equação diferencial$$\frac{d^4y}{dx^4}-2\frac{d^3y}{dx^3}+2\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+y=e^x+e^{2x}$$
Determinar o lugar geométrico representado pela equação$$\begin{vmatrix}x&y&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}\times\begin{vmatrix}x&y&1\\x_3&y_3&1\\x_4&y_4&1\end{vmatrix}=0$$sem desenvolver os determinantes.
As bases de um trapézio isósceles são $AB = a$ e $CD =3a$ e a altura mede $a$. A partir dos pontos $E$ e $F$, médios dos lados não paralelos, levantam-se, no mesmo sentido, as perpendiculares ao plano da figura: $EM = 3$ e $FN = 4a$. Por meio de segmentos retilíneos, unem-se os seguintes pontos: $M$ a $N$; cada um destes aos pontos $P$ e $Q$, médios das bases do trapézio; $P$ a $Q$. Pede-se calcular, em função de $a$, o volume do tetraedro $MNPQ$.
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