IME 1954 Matemática - Questões
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Na expressão $$e^{nlz} = x + \frac{1}{\sin x} +\frac {1}{x} + \frac{1}{\sin x} + \frac {1}{x} + \frac{1}{\sin{x}} + \cdots$$determinar os valores de $z$ quando $x \to0$, para:
a) $n = 1{,}5$.
b) $n = 2$.
Demonstrar que em um tetraedro triretângulo $OABC$, de arestas $OB$, $OC$ e $OA$, iguais a $\ell$, a soma das distâncias de um ponto qualquer $M$, situado na face $ABC$, às outras três faces, é constante. Expresse esta soma em função do comprimento $\ell$ das arestas.
a) Demonstrar que a área compreendida entre duas parábolas iguais, de vértices comuns e de eixos perpendiculares, é igual a $\frac{4}{3}$ da área do quadrado que tem para lado o parâmetro.
b) Determinar a expressão do volume do sólido gerado pela revolução da área referida no item $(a)$, em torno do eixo de uma das parábolas.
c) Tomando como eixos coordenados $Ox$ e $Oy$, os próprios eixos das parábolas e o parâmetro igual a $1$ unidade, pedem-se:
(i) Determinar a equação cartesiana do círculo que passa pelos pontos de interseção das duas parábolas e tem o centro sobre a reta que tangencia a parábola de eixo $Oy$, no ponto de interseção das mesmas que não na origem.
(ii) Determinar, em coordenadas polares, a equação do círculo referido no item (i). Tomar como polo a origem dos eixos e como eixo polar o eixo $Ox$.
Sendo $y = i^i$, pedem-se:
a) Demonstrar que $y$ é real.
b) Escrever em forma de série: $y$ e $y^{- 1}$.
Dadas as três equações abaixo determinar $f(a{,} b{,} c) = 0$ $$\sin{(x + y)} \cos{(x - y)} = a$$
$$\cos{(x + y)} \cos{(x - y)} = b$$
$$\cos {2(x − y)} = c$$
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