IME 1954 - Questões
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Dadas as séries $S_1$ e $S_2$, abaixo especificadas, $$S_1 = 2 - \frac{2x^2}{3} + \frac{x^4}{20} - \frac{x^6}{630} + \cdots$$ $$S_2 = P_1 + P_2 + P_3 + \cdots + P_i + \cdots + P_n$$ onde $P_i$ é o produto dos $i$ primeiros termos da sequência: $$\bigg(\frac{2}{e}\bigg), \ \bigg(\frac{2}{e}\bigg)^2, \ \bigg(\frac{2}{e}\bigg)^4, \ \bigg(\frac{2}{e} \bigg)^8, \ \bigg(\frac{2}{e}\bigg)^{16}, \ \cdots $$ Pedem-se:
a) O termo geral na sua expressão mais simples.
b) Verificar se são convergentes ou não.
Resolver o sistema:
$$\begin{cases} -\frac{1}{2} l x - l z + \frac{3}{2} l y = 3 \\ l x - l y + l z = -1 \\ x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} = e \end{cases}$$
Dá-se, num sistema de eixos ortogonais, o ponto $$P \begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$$ Pedem-se:
a) A equação da reta que passa por este ponto, satisfazendo a condição de que a abscissa no ponto de ordenada nula e a ordenada no ponto de abscissa nula estejam na razão de $1/2$.
b) A equação do círculo circunscrito ao triângulo formado pela reta e pelos eixos coordenados.
Sendo $y = i^i$, pedem-se:
a) Demonstrar que $y$ é real.
b) Escrever em forma de série: $y$ e $y^{- 1}$.
Dada a função $$y = \frac{a + b \cdotp x}{b + a \cdotp x}$$ Determine a sua derivada aplicando a regra geral de derivação $$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
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