IME 1953 - Questões
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Dado o sistema: $$\begin{cases} 2x-y + 3z = b \\ z + 2y - z = 6 \\ ax + y + 7z = 3 \end{cases}$$
a) Empregando o Teorema de Rouché, determinar $a$ e $b$ de maneira que o sistema seja indeterminado.
b) Com o emprego dos determinantes, e tendo em vista os valores encontrados para $a$ e $b$, resolver o sistema, expressando $x$ e $y$ em função de $z$.
a) Dada a sucessão:$$ a_1 \ a_2\ a_3\ ...\ a_n \ ... $$ quando é que dizemos que $a$ é o limite da mesma?
b) Achar o limite da sucessão:$$ 1 \ \ \frac{4}{3} \ \ \frac{6}{4} \ \ \frac{8}{5} \ \ ... \ \ \frac{2n}{n + 1} \ \ ... $$e mostrar que tal limite satisfaz a condição estabelecida na alínea anterior.
c) Verificar a convergência ou divergência da série: $$ \sum_{1}^{\infty} = \frac{n!}{n^n} $$
Dada a equação:
$$ x^4- 13x^3+41x^2+37x-210=0$$
a) Responder, justificando, os seguintes quesitos:
(i) A equação pode admitir raízes negativas? No caso afirmativo, qual o número máximo dessas raízes?
(ii) Idem quanto às raízes positivas.
(iii) Pode a equação admitir raízes fracionárias?
(iv) Quais os números racionais que, de acordo com o Critério da exclusão de Newton, devem ser eliminadas na pesquisa das raízes?
b) Resolver a equação.
Num congresso há $102$ representantes do partido $A$ e $81$ representantes do partido $B$. Para uma determinada sessão, foram convocados $99$ elementos do partido $A$ e $79$ do partido $B$. De quantas maneiras poderia ter sido efetuada tal convocação?
Resolver a equação binômia $x^6 - 64 = 0$, com o emprego de números complexos.
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