IME 1952 - Questões

Sendo $ u_1, u_2, \upsilon_1$ e $ \upsilon_2$ funções contínuas de $x$, achar, pelo processo geral a derivada de: $$ D = \left | \begin{array}{cc}u_{1} & \upsilon_{1} \\ u_{2} &\upsilon_{2}\end{array}\right| $$ e aplicar para o determinar:$$ A = \left | \begin{array}{cc} y &z \\ y^\prime & z^\prime \end{array}\right|$$
onde $y^{\prime}$ e $z^{\prime}$ são derivadas de $y$ e $z$ respectivamente, e $y$, $z$, $y^{\prime}$ e $z^{\prime}$ são funções contínuas de $x$.

Achar o conjunto de valores de $K$ para que a equação: $$ f(x) = x^4 – 14x^2 + 24x -K = 0 $$ Tenha quatro raízes desiguais.

Equacionar a reta que passa pelos pontos $d_1$ e $d_2$ da figura abaixo sendo conhecidos: $OE_1 = X_1$; $ OE_2 = X_2$; $OA = 2 =$"diâmetro da circunferência". Sabendo-se que $X_1$ e $X_2$ são as raízes da equação do segundo grau do tipo:$$ x^2 + px+ q = 0$$ Exprimir os coeficientes da equação da mesma reta em função de $p$ e $q$. Aplicar este método para resolver graficamente a equação do segundo grau: $$ x^2- 6x + 8 = 0$$

Determinar todos os números que elevados à quarta potência coincidam consigo mesmo.

Decompor em frações parciais: $$ \frac{x^2}{(x+1)^2.(x^2+1)} $$