IME 1950 - Questões
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Discutir e resolver, com emprego de determinantes o sistema$$\begin{cases}4x + 3y + 2z = 16\\3x + 4y + 5z = 33\\x + y + z = 7\end{cases}$$
Sendo $F(x) = \frac{2e^x}{(1+4e^{2x})^{\frac{3}{2}}}$, achar a derivada $F^\prime(x)$, dando o resultado na forma mais simples. Calcular, com três algarismos decimais, o valor real de $x$ que anula $F^\prime(x)$.
$log_{10}{2} = 0,3010$
$log_e {10} =2,3026$.
Dada a equação
$$3x^4+4x^3-12x^2+32=0$$
pedem-se:
a) Formar a sequência de Rolle e determinar a natureza das raízes da equação.
b) Calcular essas raízes.
a) Sendo $Y =\frac{1}{Z}=G-iB$ e $Z=R+iX$, onde $i=\sqrt{-1}$ e $G$, $B$, $R$ e $X$ são quantidades reais, determinar $G$ e $B$ em função de $R$ e $X$.
b) Calcular
(i) $$e^{\frac{2{\pi}}{3}i}$$
(ii)$$e^{\frac{1}{2}log_e{3}}$$
onde $e = 2,71828 . . .$, $π = 3,14159 \cdots$, $i =\sqrt{-1}$.
c) Transformar o determinante
$$\Delta=\begin{vmatrix}\,f_1. cos\theta + g_1.sen\theta & \,f_2. cos\theta + g_2.sen\theta\\ -f_1.sen\theta + g_1. cos\theta &-f_2.sen\theta + g_2. cos\theta\end{vmatrix}$$
no produto de dois determinantes. Calcular, então o valor de $\Delta$.
d) Escrever o termo geral da série
$$x-\frac{1}{2}.\frac{x^3}{3}+\frac{1.3}{2^2.2!}.\frac{x^5}{5}- \frac{1.3.5}{2^3.3!}.\frac{x^7}{7}+...$$
e) Aplicando o critério da relação, determinar a natureza da série cujo termo geral é
$$u_n=\frac{1}{n^{n+2}}$$
f) Resolver a equação
$$\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2+x\end{vmatrix}=0$$
Resolver o triângulo conhecendo-se um lado, $a = 86,6$ mm, a soma dos dois outros, $b + c =162,8$ mm, e o raio do círculo circunscrito, $R = 50,0$ mm. Utilizar na solução desta questão a tábua de linhas trigonométricas.
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