ESPCEX 2016 Matemática - Questões

ExemSeja $C$ a circunferência de equação $x^{2} + y^{2} + 2x + 4y + 2=0$. Considere em $C$ a corda $MN$ cujo ponto médio é $P(-1, -1)$. O comprimento de $MN$ (em unidade de comprimento) é igual a

A sequência $(a_{1}, a_{2},\cdots, a_{10})$, onde $a_{1}=\dfrac{3}{2}, a_{2}=\dfrac{5}{2}, a_{3}=\dfrac{9}{2},\cdots,a_{10}=\dfrac{1025}{2}$ é de tal forma que para cada $n\ \in\ \{1,2,\cdots,10\}$ temos que $a_{n}= b_{n}+ c_{n}$, onde $(b_{1}, b_{2},\cdots, b_{10})$ é uma $PG$ com $b_{1}\neq 0$ e de razão $q \neq\ 1\ e (c_{1}, c_{2} \cdots, c_{10})$ é uma $PA$ constante. Podemos afirmar que $a_{1} + a_{2} +\cdots+ a_{10}$ é igual a

O valor da expressão $E = (999)^{5} + 5\cdot(999)^{4} +10\cdot(999)^{3} +10\cdot(999)^{2} +5\cdot(999)+ 1$ é igual a

Determine o algarismo das unidades da seguinte soma $S = \sum_{k=1}^{2016}, n!$, em que n! é o fatorial do número natural $n$.

A soma das soluções da equação $\cos(2x) - \cos(x)=0$, com $x\in [0, 2 \pi)$, é igual a