EFOMM 2009 Matemática - Questões

Qual é o número inteiro cujo produto por $9$ é um número natural composto apenas pelo algarismo $1$?

O logotipo de uma certa Organização Militar é uma pedra semipreciosa, cujo valor é sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa em gramas. Suponha que a pedra de $8$ gramas, infelizmente, tenha caído partindo-se em dois pedaços. Qual é o prejuízo, em relação ao valor inicial, sabendo-se que foi o maior possível?

Numa embarcação é comum ouvirem-se determinados tipos de sons. Suponha que o nível sonoro $\beta$ e a intensidade $I$ de um desses sons esteja relacionado com a equação logarítmica $\beta = 12 + \log _{10} I$, em que $\beta$ é medido em decibéis e $I$ em watts por metro quadrado. Qual é a razão $\dfrac{I_{1}}{I_{2}}$, sabendo-se que $I_{1}$ corresponde ao ruído sonoro de $8$ decibéis de uma aproximação de dois navios e que $I_{2}$ corresponde a $6$ decibéis no interior da embarcação?

Duas pessoas estão na beira da praia e conseguem ver uma lancha $B$ na água. Adotando a distância entre as pessoas como $\overline{P_{1}P_{2}}$ sendo $63$ metros, o ângulo $B{\hat{P}}_{1}P_{2} = \alpha\ ,\ \ B{\hat{P}}_{2}P_{1} = \beta,\ \ \hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \alpha = 2\ \text{ e } \ \hspace{2pt}\mathrm{tg}\ \beta = 4$ . A distância da lancha até a praia vale:

Tem-se um contêiner no formato cúbico, onde o ponto $P$ descreve o centro desse contêiner e o quadrado $ABCD$ a parte superior dele. Considerando-se o $\Delta APC$, o seno do ângulo $A\hat{P}C$ vale: