CN 2014 - Questões

Sabe-se que o ortocentro $H$ de um triângulo $ABC$ é interior ao triângulo e seja $Q$ o pé da altura relativa ao lado $\overline{AC}$. Prolongando $\overline{BQ}$ até o ponto $P$ sobre a circunferência circunscrita ao triângulo, sabendo-se que $\overline{BQ}=12$ e $\overline{HQ}=4$, qual é o valor $\overline{QP}$?

Considere que $ABCD$ é um trapézio, onde os vértices são colocados em sentido horário, com bases $\overline{AB}=10$ e $\overline{CD}=22$. Marcam-se na base $\overline{AB}$ o ponto $P$ e na base $\overline{CD}$ o ponto $Q$, tais que $\overline{AP}=4$ e $\overline{CQ}=x$. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros $APQD$ E $PBCQ$ são iguais.

Sendo assim, pode-se afirmar que a medida $x$ é:

Considere um conjunto de 6 meninos com idades diferentes e um outro conjunto com 6 meninas também com idades diferentes.

Sabe-se que, em ambos os conjuntos, as idades variam de 1 ano até 6 anos. Quantos casais podem-se formar com a soma das idades inferior a 8 anos?

Dado que a e b são número reais não nulos, com $b\neq4a$, e que $\begin{cases}1+\dfrac{2}{ab}=5\\ \\ \dfrac{5-2b^2}{4a-b}=4a+b \end{cases}$, qual é o valor de $16a^4b^2-8a^3b^3+a^2b^4$?

Considere, no conjunto dos números reais, a desigualdade $\dfrac{2x^2-28x+98}{x-10}\geq0$. A soma dos valores inteiros do conjunto solução desta desigualdade, que são menores do que $\dfrac{81}{4}$, é